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发布于：Aug 25, 2019

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自然率

倒霉事的概率

墨菲定律

问题引入->好看的人千篇一律，不好看的人各有千秋

• 好看->五官什么的都是好看的，又好看的概率低，全好看的概率P更低
• 不好看->其中一个不好看就不好看,概率1-P

故。

验证是否正常的方法

本福特定律

对于自然的杂乱无章的数据首位是1的概率并不是$\frac19$，据本福特定律，b进制数中首位是n的概率为$log_{b}\frac{n+1}{n}$

• 要求
  • 非人为规律
    • 如电话号码不满足
  • 跨度要大，跨越几个数量级
    • 如人是身高不满足
• 应用
  • 视频播放量
  • 各个国家人口
  • 国土面积
  • GDP
  • 斐波那契数列
    • 说明近似自然数据
  • 放射性元素半衰期
  • 大选

自然数据的首位数规律

• 数据是否造假—>是否符合本福特定律

证明

一个不严谨的证明

• 数据的增长量正比于存量 $\frac{\Delta N}{N\Delta t}$ = Constant
  • 结论
  • $N = N_0e^{ct}$
  • $t = C\log_{10}\frac{N_2}{N_1}$
• $t_1 = C\log_{10}\frac{2}{1}$ ,$t_2 = C\log_{10}\frac{3}{2}$ …1到2，2到3，3到…
  • $t_n = C\log_{10}\frac{n+1}{n}$
  • $T = t_1+t_2+…+t_n = C\log_{10}{10} = C$
  • $P = \frac{t_n}{T}$
    • $P_1 = \frac{t_1}{T} = lg2$
    • $P_n = \frac{t_n}{T} = lg\frac{n+1}{n}$

数学

求最大公约数

• 图解法
  • 矩形填充正方形,最小正方形的边长就是最大公约数
• 辗转相除法
  • 证明
    被除数a,余数r,除数b,公约数d
    $r=a-bk$
    若d|a,且d|b (a|b表示a是b的约数);则d|r
    则找a和b的最大公约数d,就相当于找b和r的最大公约数

贝祖数

• 贝祖定理
  方程$ax+by=m(a,b,m\in z)$x,y有解的充要条件是:m是a,b最大公约数的倍数。x,y就是贝祖数
• 贝祖数的求法
  • $a\div{b}=k…r$
    $r = a-bk$
    a,b又可当做新的r。多组x,y就出来了

Vieta theorem

$$\begin{aligned}
ax^2 + bx + c = 0 \
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}; x_1x_2 = \frac{c}{a}
\end{aligned}$$

tips
$$\begin{aligned}
let\ x_1=a-u, x_2=a+u \
x_1x_2=(a-u)(a+u) = a^2 - u^2
\end{aligned}$$
and so can get $x$ quickly.

expand

$$
ax_1^3 + bx_2^2 + cx_3 + d = 0 \

\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} \
x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} \
\end{cases} \

and\ so\ on …
$$

天文

发现系外行星的方法

视像速度法

• 双星
• 多普勒效益造成 红移/蓝移
  • 说明有恒星周期性运动
  • 说明有双星系统
• 故恒星旁有行星

凌日法

• 类似日食原理的，亮度的周期性变化
• 从周期中得到各种数据
  • 但存在角度问题